Taifun den 13 juli 2015 kl. 10.16

2015-07-13T10:16:21Z

Ny sida

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.1 Om tal|<-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.2 Räkneordning|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Räkneordning|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Decimaltal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 2 Rakneordning Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 2 Räkneordning</span></strong>]]
__NOTOC__ 
== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
<div class="exempel">
[[Image: Hur raknar du 20a.jpg]]
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 </math>

:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>

</div> 

<div class="tolv"> 
Men varför är <math> \, 21 \, </math> rätt och <math> \, 45 \, </math> fel?

Om du lärt dig räkneordning vet du att räkneordningen inte alltid följer skrivordningen utan snarare följande regel:
</div> 

<div class="border-divblue"><b>Multiplikation går före addition.</b></div>

<div class="tolv"> 
Denna regel används när båda räkneoperationerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade. Man säger: Operationen <math> \, \cdot\;</math> har högre prioritet än operationen <math> \, + \, </math> dvs <math> \, \cdot\;</math> måste alltid räknas före <math> \, + \, </math> varför <math> \, 3 \, </math> gånger <math> \, 5 \, </math> måste räknas först och <math> \, 6 \, + \, 15 \, </math> sedan.

Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.
</div> 

== <b><span style="color:#931136">Varför går multiplikation före addition?</span></b> ==
<div class="tolv"> 

<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, </math> kan uppfattas som:

:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>

I själva verket är <math> \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; </math> en förkortning för <strong><span style="color:red">upprepad addition</span></strong> av <math> \, 5 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.

När vi sedan fortsätter genom att lägga till <math> \, 6 \, + \, </math> ser vi att <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> inte längre finns med i räkneprocessen, om vi skriver ut förkortningen <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>:

:::<math> 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>

Här kan man inte längre räkna fel, för <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen utan endast en information om att <math> \, 5 \, </math> ska adderas <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv.

Därför det är fel att addera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>.

Vi förstår prioritetsregeln <math> \; \cdot \; </math> går före <math> \; + \; </math> genom att se multiplikationen som vad den egentligen är, nämligen en upprepad addition i förkortad form.

På köpet får man insikten om att multiplikation inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition <math>-</math> en tanke som kan vidareföras:

Samma sak är det nämligen med <strong><span style="color:red">division</span></strong>. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast <strong><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></strong>. När vi t.ex. räknar <math> 30 \, / \, 5 \, </math> görs i själva verket följande:

:::::<math> 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>

Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå [[Teoretisk_förklaring|<strong><span style="color:blue">varför man inte får dividera med 0</span></strong>]].
</div> 

== <b><span style="color:#931136">De fyra räknesättens prioritetsregler</span></b> ==
<div class="tolv"> 

<div class="border-divblue">[[Image: De 4 raknesattens prioritetsregler 20.jpg]]</div>

Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion.

Addition har samma prioritet som subtraktion.

Multiplikation har samma prioritet som division.
</div> 

<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==

Vad ger följande uttryck?

:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 </math>

Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna <math> \, 12 \, - \, 2 \, </math>. Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:

:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12</math>

Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Beakta uppgiftens redovisning som en <strong><span style="color:red">kedja av likheter</span></strong> för att visa alla mellansteg. Likhetstecknets korrekta användning innebär att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet <math> \, 12 \, </math> upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med <math> \, 12 \, </math> förrän i det allra sista steget.

</div>

<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==

Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:

:::<math>(50+14)-8\cdot3+4</math>

Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande:

:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>

Men även följande lösning är helt korrekt:

:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>

Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än <math> \, + \, </math> så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas <math> \, 8 \, </math> gånger <math> \, 3 \, </math> först och dras av sedan från <math> \, 64 \, </math>. Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna <math>64-8</math> utan tar först <math> \, 8 \, </math> gånger <math> \, 3 \, </math>.

Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp parenteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.
</div>

<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==

'''Problem:''' Beräkna utan miniräknare:

:::<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math>

'''Lösning:'''

:::<math>24\,-\,(8-4)\,-\,36/6\,+\,5\,\cdot\,4\;=\;24\,-\,4\,-\,6\,+\,20\;=\;20\,-\,6\,+\,20\;=\;14\,+\,20\;=\;34</math>

Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.
</div>

<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==

'''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:

:::<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math>

'''Lösning:'''

:::<math> \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = </math>

:::<math> = 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 </math>

Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med <math> \, 2 \, </math> genomförd.
</div>

== <b><span style="color:#931136">Parenteser och osynliga multiplikationstecken</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången.

Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få <math> \, 45 \, </math>:

::::<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math>

Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger <math> \, 5 \, </math> så att man får <math> \, 45 \, </math>. Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här:

::::<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math>

Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.

Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här:

::::<math>(6+3)\;5</math>

Detta ger samma värde <math> \, 9 \, </math> gånger <math> \, 5 \, = \, 45 \, </math> som ovan.

Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecknet, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket <math> \, (6+3)\;5 \, </math> är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas.
</div> 

== <b><span style="color:#931136">Bråkstreck inkluderar parentes</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Det finns två symboler för division: Själva divisionstecknet som t.ex. i <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> och bråkstrecket som i <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> vars resultat är det samma, nämligen <math> \, 2 \, </math>. Skillnaden är att <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> är en operation, nämligen att dividera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> är ett tal, närmare bestämt ett tal i bråkform. Detta var ett enkelt exempel. Men hur blir det när flera operationer blir inblandade i ett uttryck som involverar bråkstrecket?

<div class="exempel">
===== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> =====

::::<math> 2+6 \over 3+1 </math>

:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 </math>

:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! (2 + 6) / (3 + 1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>

Speciellt vanligt är detta fel när man direkt matar in <math> \, 2 + 6 / 3 + 1 \, </math> i kalkylatorn och får det felaktiga resultatet <math> \, 5 \, </math> i displayen.
</div> 

Förklaringen är igen vissa "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare <math> \, 6+2 \, </math> och nämnare <math> \, 3+1 \, </math> i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. Synliggör man dessa "osynliga" parenteser i uttrycket ovan ser det ut så här:

::::<math> {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 </math>

Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> och nämnaren <math>3+1</math>, men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är ''hela'' <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> som ska delas med ''hela'' <math>3+1</math>.

Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska:

::::<math> {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>

I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Det blir nämligen ett helt annat uttryck och därmed ett helt annat resultat om man gör det:

::::<math>2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 </math>

Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".
</div> 

== <b><span style="color:#931136">Sammanfattning</span></b> ==
<div class="tolv"> 
När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:

1. Lös upp eventuella parenteser först, dvs räkna deras innehåll.

2. Sedan tar du multiplikationer och divisioner.

3. Sist additioner och subtraktioner.
</div> 

== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==

https://www.youtube.com/watch?v=lFxztfJ2bq4

http://matematikvideo.se/lektioner/prioriteringsreglerna/

http://www.matteguiden.se/rakneregler/

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.2 Räkneordning - Versionshistorik

Taifun den 13 juli 2015 kl. 10.16