Taifun den 20 juli 2015 kl. 09.31

2015-07-20T09:31:21Z

Ny sida

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.3.2_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Negativa tal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Decimaltal</span></strong>]]
__NOTOC__ 
== <b><span style="color:#931136">Tal mellan två heltal</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">heltal</span></strong>]].

För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Det_decimala_positionssystemet|<strong><span style="color:blue">det decimala positionssystemet</span></strong>]].
</div> 

<div class="ovnE">

[[Image: Decimaltal_60a.jpg]]

</div>

<div class="tolv"> 
Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Om tal, Exempel 1</span></strong>]].

Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.

På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
</div> 

<div class="exempel"> 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
<big>
Bestäm decimalernas <strong><span style="color:red">värden</span></strong> i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.

<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>

:Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har positionen <strong><span style="color:#93C800">tiondel</span></strong> och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \, = \, {\color{Red}{0,1}} </math>.

:Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har positionen <strong><span style="color:#93C800">hundradel</span></strong> och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \, = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.

:Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har positionen <strong><span style="color:#93C800">tusendel</span></strong> och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.

Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:

:::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Samma [[1.1_Om_tal#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">regel</span></strong>]] som gällde för heltal, gäller för decimaltal, fast lite annorlunda formulerad:
<div class="border-divblue">
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger <span style="color:red">mindre värde</span> än positionen till <span style="color:red">vänster</span>.
</div>

Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?
</div> 

<div class="exempel"> 

== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
<big>
Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.

<strong><span style="color:#931136">Svar:</span></strong>

::<span style="color:black"><math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.</span>

::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.

::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva<span style="color:black">:</span> <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Detta är ett exempel på att alla heltal även är decimaltal, för till alla heltal kan ett decimaltecken tillfogas som följs av nollor, vilket i sin tur är en konsekvens av att:

Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></strong>]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.

Exempel 2 visar också:
<div class="border-divblue">
Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> finns efter nollorna.
</div>

Anledningen till denna regel är att sådana nollor efter decimaltecknet inte bidrar något (eller bidrar värdet <math> \, 0 </math>) till decimaltalets värde.
</div> 

== <b><span style="color:#931136">Placering av decimaltal på tallinjen</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
</div> 

<div class="exempel"> 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
<big>
Vilket decimaltal pekar pilen på?   <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]

<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>

::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]

<strong><span style="color:#931136">Förklaring:</span></strong>

:::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
:::* Skalans minsta steg på tallinjen är<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
:::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
:::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet<span style="color:black">:</span> <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
</div> 

<div class="exempel"> 
== <b><span style="color:#931136">Viktiga decimaltal</span></b> ==
<big>
<table>
<tr>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
</td>
<td>
:::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>

:::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>

:::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
</td>
<td>
:::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>

:::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>

:::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
</td>
<td>
:::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>

:::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>

:::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>

</td>
</tr>
</table>
</big>
</div> 

<div class="tolv"> 
I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper:
::* Decimaltal med s.k. <strong><span style="color:red">ändlig decimalutveckling</span></strong>, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math>.
::* <span style="color:white">Decimaltal med s.k. </span><strong><span style="color:red">periodisk decimalutveckling</span></strong>, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math>.
::* <span style="color:white">Decimaltal med s.k. </span><strong><span style="color:red">icke-periodisk decimalutveckling</span></strong>, t.ex. <math> \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math>.

De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></strong>]].

Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
</div> 

== <b><span style="color:#931136">Ändlig decimalutveckling</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|<strong><span style="color:blue">regeln</span></strong>]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.

Ändliga decimalutvecklingar skrivs om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och förkortas så långt som möjligt.
</div> 

<div class="exempel"> 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
<big>
<b><span style="color:#931136">a)</span></b>   Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.

      Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>

<b><span style="color:#931136">b)</span></b>   Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal.

       Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
För att skriva bråk till decimaltal förlängs bråket så länge tills en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren tillåter ändlig decimalutveckling.
</div> 

<div class="exempel"> 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ==
<big>
<b><span style="color:#931136">a)</span></b>   Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform.

      Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>

<b><span style="color:#931136">b)</span></b>   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.

       Lösning<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
</big></div> 

== <b><span style="color:#931136">Periodisk decimalutveckling</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för <strong><span style="color:red">period</span></strong>. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.

Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning.
</div> 

<div class="exempel"> 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ==
<big>
<b><span style="color:#931136">a)</span></b>   Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.

      <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math>

      <span style="color:#F2F2F2">Lösning:</span> <math> \quad\; \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>

::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>

<b><span style="color:#931136">b)</span></b>   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal.

       <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>

       Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:

:::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math>

       Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här.
</big></div> 

== <b><span style="color:#931136">Icke-periodisk decimalutveckling</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period). T.ex. har den icke-periodiska decimalutvecklingen:

::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>

hur många decimaler som helst och framför allt kan inte man gruppera några av dem till någon period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.

<math> \sqrt{2} \, </math> är inget rationellt utan ett irrationellt tal. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal. se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<strong><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></strong>]].

Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<strong><span style="color:blue"><big><math> \, \pi </math></big></span></strong>]]. Det finns oändligt många irrationella tal.
</div> 

== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==

https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html

http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M

http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3

https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.3 Decimaltal - Versionshistorik

Taifun den 20 juli 2015 kl. 09.31