Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(408 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.1 Positiva tal|Teori]]}}
+
{{Selected tab|[[1.1 Om tal|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Positiva tal|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar om tal|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
  
 +
[[Media: Lektion 1 Om tal Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 1 Om tal</span></strong>]]
 +
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Talbegreppet</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 +
[http://matmin.kevius.com/aritmet.php <strong><span style="color:blue">Aritmetik</span></strong>] som är vårt första kapitel i denna kurs betyder läran om talen. Men vad är ett tal egentligen? Titta på bilderna nedan:
  
−
[[Media: Lektion_1_Positiva tal.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 1 Positiva tal</span></strong>]]
+
Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar?
  
−
__TOC__
 
  
 +
[[Image: Tre katter_80.jpg]] <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: Tre hundar_80.jpg]]  <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]]
  
−
== Talbegreppet ==
 
  
−
[[Matte_1_Kapitel_1_Aritmetik|<strong><span style="color:blue">Aritmetik</span></strong>]] <math>-</math> vårt första kapitel i Matte <math>1</math>-kursen <math>-</math> betyder läran om tal. Men vad är tal egentligen? Titta på följande exempel:
+
Om vi bortser från själva katter och hundar så är det ''antalet tre'' som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för <strong><span style="color:red">talet 3</span></strong>.
  
−
[[Image: images tre katter.jpg]] <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: images tre hundar.jpg]]  <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]]
+
<strong><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></strong> kan alltså definieras som det enda gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> element, dvs ''antalet'' saker och ting som finns i en mängd.
  
−
Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar? Om man bortser från själva katter och hundar så är det ''antalet tre'' som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för <strong><span style="color:red">talet 3</span></strong>. Tal kan alltså uppfattas som antalet saker och ting som finns i en mängd. Detta förutsätter att vi redan har lärt oss att räkna saker och ting <math>-</math> som barn. I själva verket är det en, i regel omedveten tankeprocess som ligger bakom räknandet.
+
Men att definiera ''tal'' med ''antal'' är ju bara att byta ut ett okänt ord mot ett annat, vilket inte löser problemet att förstå talbegreppet. Det är i själva verket ''tankeprocessen'' bakom räknandet, som leder till talbegreppet. Att räkna antalet saker och ting i en mängd har vi lärt oss som barn. Men hur det gick till har vi antingen glömt eller aldrig brytt oss om.  
  
−
Tankeprocessen består i att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt och kallas:
+
Det är för att tankeprocessen bakom räknandet i regel pågår omedvetet: Vi bortser från skillnaderna mellan två mängder av objekt (katter och hundar). Kvar blir det gemensamma (talet tre) hos dem. Denna process kallas för:
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
−
== Abstraktion ==
 
  
−
''abstrahere'' betyder på latin: att ta bort, att dra av. Man tar bort det som skiljer tre katter från tre hundar och kommer till det som är som gemensamt hos dem: Antalet 3 eller enklare talet 3.
+
== <b><span style="color:#931136">Abstraktion</span></b> ==
 +
<div class="ovnE"> <!-- ovnE -->
 +
{{#NAVCONTENT:Klicka här för att läsa om abstraktion.|Abstraktion}}
 +
</div> <!-- ovnE -->
  
−
Matematik är en abstrakt vetenskap.
 
  
−
Redan begreppet ''tal'' är resultatet av abstraktion i den mänskliga hjärnan: Att bortse från det som skiljer och behålla det som är gemensamt. Källan är alla verkliga objekt som omger oss.
+
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
 +
Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:
  
−
Ett växande barn lär sig denna abstraktionsförmåga under sin uppväxt. Mänskligheten har lärt sig den under den historiska utvecklingen. För oss känns det som en självklarhet att skilja mellan antalet saker och ting i en mängd och mängdens andra egenskaper. Men det finns naturfolk som t.ex. betecknar i sitt språk ''två kvinnor'' med ett annat ord än ''två pilar''. De använder olika ord för samma antal när antalen används i kombination med olika objekt. Hos dem har antalet saker och ting i en mängd inte löst sig (inte abstraherats) från mängdens andra egenskaper.  
+
:::::::::&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Positiva tal_16.gif]]
  
−
Abstraktion är ett viktigt koncept i allt tänkande, så även i matematiken. Den ger oss inte bara talbegreppet. Man kan t.o.m. säga att hela matematiken består av en rad abstraktioner på olika nivåer. Vill man bli duktig i matte är det bäst att träna sin abstraktionsförmåga. Och hur gör man det? Bl.a. genom att just syssla med matematik!
+
dvs objekt antal i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Generellt är positiva tal alla tal större än <math> \, 0 \, </math>. Till själva nollan kommer man genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. <math> \, 4 - 4 = 0 \, </math>. De positiva heltalen bildar tillsammans med <math> \, 0 \, </math> de s.k. <strong><span style="color:red">naturliga talen</span></strong>:
  
 +
::::::::&nbsp;[[Image: Naturliga tal_16.gif]]
  
−
== De positiva talen ==
+
Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre, t.ex. <math> \, 4 - 5 = -1 \, </math> kommer man till negativa tal. De naturliga talen bildar tillsammans med de negativa talen de s.k. <strong><span style="color:red">heltalen</span></strong>:  
−
Allt vi sade ovan är åtminstone sant om vi nöjer oss med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen, kort de positiva talen:
+
  
−
::::::::::[[Image: Positiva tal_20.gif]]
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
  
−
dvs antalet saker och ting i en mängd <math>-</math> det som vi kan börja med att räkna med våra fingrar. Generellt är ''positiva tal'' alla tal större än 0. Till själva nollan kommer man genom att dra av samma tal från varandra, t.ex. <math> 4 - 4 = 0 </math>. De positiva heltalen bildar tillsammans med 0 de s.k. ''naturliga talen:'' <math> \, 0,\,1,\,2,\,3,\,4, \ldots  \, </math>. Alla andra typer av tal (hela, rationella, reella, komplexa osv.) bygger sin konstruktion på de naturliga talen, är alltså resultat av ytterligare abstraktioner.
+
:[[Image: Heltal_16.gif]]
  
 +
Delar man två heltal med varandra, t.ex. <math> \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, </math> kommer man till bråktal.
  
−
== Det decimala positionssystemet ==
+
Heltalen bildar tillsammans med bråktalen de s.k. <strong><span style="color:red">rationella talen</span></strong>:
−
Att tänka sig ett tal eller att räkna upp antalet saker och ting i en mängd, är en sak. Att meddela det till andra dvs att tala om eller att skriva upp talet så att alla förstår, är en helt annan sak.
+
  
−
Man pratar om ''representation av tal'', dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. ''decimala positionssystemet''. ''Decimalt'' heter det därför att det bygger på basen <math> \, 10 \, </math> (på latin: deci). Dvs man använder de <math> \, 10 \, </math> siffrorna för att representera alla tal:
+
::::[[Image: Rationella tal_60.jpg]]
  
−
::::::::::[[Image: Siffrorna 0-9.gif]]
+
Alla rationella tal kan skrivas som bråk och därmed som decimaltal.
  
−
Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina <math> \, 10 \, </math> fingrar.
+
Dock finns decimaltal som inte kan skrivas som bråk. Exempel:
  
−
Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Allt som går över <math> \, 10 \, </math> bildas med hjälp av dessa 10. ''Positionssystem'' heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math> i talet som bestämmer talets <strong><span style="color:red">värde</span></strong>. Det som bestämmer värdet, de olika positionerna har fått beteckningarna ''ental'', ''tiotal'', ''hundratal'', ''tusental'' osv. Man börjar att skriva från vänster siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden. Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar längst till höger.
+
Drar man roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till<span style="color:black">:</span>
  
−
[[Image:Fig111.gif]]
+
::<math>\sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>
  
−
== Exempel 1 ==
+
</td>
−
I talet <math> \, 312 \, </math> är - om vi börjar från höger - siffran <math> \, 2 \, </math> pga sin position (placering) ett ental. Nästa siffra från höger, <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal och siffran <math> \, 3 \, </math> ett hundratal. Eftersom <math> \, 3 \, </math> är ett hundratal har siffran <math> \, 3 \, </math> värdet <math> \, 3 \cdot 100 </math> dvs <math> \, 300 \, </math>. Eftersom <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal har siffran <math> \, 1 \, </math> värdet <math> \, 1 \cdot 10 \, </math> dvs <math> \, 10 \, </math>. Analogt har siffran <math> \, 2 \, </math> värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>. Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till:
+
<td>
 +
<div class="border-divblue">De olika taltyperna är delmängder av varandra:</div>
  
−
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 = 300 + 10 + 2 = {\color{Red} {312}} \, </math>
 
  
−
Man säger att <math> \, 312 \, </math> är ett sätt - det decimala positionssystemets sätt - att visa (att representera, att framställa) talets värde.
+
::::[[Image: Taltypera_3red.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<math> \sqrt{2} \, </math> kan inte anges i bråkform <math>-</math> är inget rationellt tal <math>-</math> därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).  
  
−
Om man i exemplet ovan istället för <math> \, 100 \, </math> skriver <math> \, 10^2 \, </math>, vilket betyder <math> \, 10 \cdot 10 \, </math>, och istället för <math> \, 10 \, </math> skriver <math> \, 10^1 \, </math>, ser man att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet. Ännu tydligare blir det i följande exempel:
+
<math> \sqrt{2} \, </math> kallas för ett irrationellt tal. Ett annat exempel är talet <math> \, \pi </math>. Det finns oändligt många irrationella tal.
  
 +
De rationella talen bildar tillsammans med de irrationella de s.k. <strong><span style="color:red">reella talen</span></strong>.
  
−
== Exempel 2 ==
+
Men det finns ytterligare en talmängd som är mer omfattande än de reella talen. Löser man t.ex. ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> kommer man till:
−
Om du har svårigheter att förstå detta med <math> \, 10</math>-potenser kom ihåg dina kunskaper från Högstadiet eller läs här avsnittet om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">Potenser</span></strong>]].
+
 
 +
::::::<math> \, x = \sqrt{-1} \, </math>
 +
 
 +
<math> \sqrt{-1} \, </math> är inget reellt utan ett s.k. imaginärt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger <math> \, -1 </math>.
 +
 
 +
Alla rötter ur ett negativt tal är imaginära. De reella talen bildar tillsammans med de imaginära de s.k. <strong><span style="color:red">komplexa talen</span></strong>.
 +
 +
Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som vi inledningsvis introducerade talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå.
 +
</div> <!-- tolv3 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Det decimala positionssystemet</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
 +
Så kallas vårt talsystem, som vi dagligen använder. Att räkna med tal är en sak, att beteckna tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi skriva upp dem, dvs ge talen, som ju är resultat av [[Abstraktion|<strong><span style="color:blue">abstraktion</span></strong>]], ändå en konkret form som att alla förstår.
 +
 
 +
Man pratar om <strong><span style="color:red">representation av tal</span></strong>, dvs att visa eller framställa tal. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över <math>-</math> vårt talsystem <math>-</math> är det s.k. <strong><span style="color:red">decimala positionssystemet</span></strong>. Det har visat sig att det är det enklaste sättet att representera tal.
 +
 
 +
<strong><span style="color:red">Decimalt</span></strong> heter vårt talsystem därför att det bygger på basen <math> \, 10 \, </math> (på latin: deci). Dvs man använder de första <math> \, 10 \, </math> siffrorna:
 +
 
 +
::::::::[[Image: Siffrorna 0-9_16.gif]]
 +
 
 +
för att representera alla andra tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina <math> \, 10 \, </math> fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Alla tal större än <math> \, 10 \, </math> bildas med hjälp av dessa siffror <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>.
 +
 
 +
<strong><span style="color:red">Positionssystem</span></strong> heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math> i talet som bestämmer siffrornas <strong><span style="color:red">värde</span></strong>.
 +
 
 +
De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar:
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td>
 +
:::::* ental
 +
:::::* tiotal
 +
:::::* hundratal
 +
</td>
 +
<td>
 +
:::::* tusental
 +
:::::* tiotusental
 +
:::::* hundratusental osv.
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
</div> <!-- tolv4a -->
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
 +
<big>
 +
Skriv talet <math> \, 7\,142 \, </math> som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser".
 +
 
 +
Ange även talets entals-, tiotals-, hundratals- och tusentalssiffra. Förklara varför vårt talsystem är decimalt.
 +
 
 +
'''Lösning:'''
  
 
:::::[[Image:Fig112bk.jpg]]
 
:::::[[Image:Fig112bk.jpg]]
  
 +
Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med <math> \, 10</math>-potenser läs avsnittet om [[1.7 Potenser|<strong><span style="color:blue">Potenser</span></strong>]]. Kom speciellt ihåg att <math> \, 10^0 \, = \, 1 \, </math> enligt potenslagarna.
 +
</big></div> <!-- exempel1 -->
  
−
== Exempel 3 ==
+
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Siffran <math> \, 2 \, </math> längst till höger är en entalssiffra eller kort ett ental och har det minsta <strong><span style="color:red">värdet</span></strong>, nämligen <math> \, 2 \cdot 1 = 2 </math>. Sedan följer de andra med stigande värden.
  
−
'''Problem:''' Ange talet <math> \, 5\,689 \, </math> som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser".
+
Nästa siffra <math> \, 4 \, </math> till vänster är en tiotalssiffra eller kort ett tiotal och har värdet <math> \, 4 \cdot 10 = 40 </math>.  
  
−
'''Svar:'''
+
Nästa siffra <math> \, 1 \, </math> till vänster är en hundratalssiffra eller kort ett hundratal och har värdet <math> \, 1 \cdot 100 = 100 </math>.
  
−
:::::<math>{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
+
Siffran <math> \, 7 \, </math> längst till vänster är en tusentalssiffra eller kort ett tusental och har det högsta värdet, nämligen <math> \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 </math>.
 +
 
 +
Man inser [[1.3_Decimaltal#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">regeln</span></strong>]]:
 +
<div class="border-divblue">
 +
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger <span style="color:red">större värde</span> än positionen till <span style="color:red">höger</span>.
 +
</div>
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ange siffrornas värde i talet <math> \, 312 </math>. Beräkna talets värde utgående från siffrornas värden.
 +
 
 +
Skriv även talet som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser".
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
:::::<math>{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
+
Första siffran <math> \, 3 \, </math> är pga sin position ett hundratal och har därför värdet värdet <math> \, 3 \cdot 100 </math> dvs <math> \, 300 </math>.
  
 +
Siffran <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal och har därför värdet <math> \, 1 \cdot 10 \, </math> dvs <math> \, 10 \, </math>.
  
−
== Exempel 4 ==
+
Siffran <math> \, 2 \, </math> är ett ental och har därför värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>.
−
'''Problem:''' Siffrorna i talet <math> \, 96\,038 \, </math> ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt.
+
  
−
'''Svar:'''
+
Siffran <math> \, 2 \, </math> är ett ental och har därför värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>.
−
:::::<math>39 \, 860</math>
+
  
−
'''Lösning:''' De två siffrorna närmast <math> \, 4 \, </math> (första siffran i <math> \, 40\,000</math>) är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 6 \, </math>. Om vi börjar med siffran <math> \, 6 \, </math> skulle den ge värdet <math> \, 60\,000 \, </math> som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare <math> \, 40\,000 \, </math>. Därför bestämmer vi oss att stanna under <math> \, 40\,000 \, </math>, då blir den första siffran i det tal vi söker, <math> \, 3 \, </math>. Då får vi <math> \, 30\,000 \, </math>. För att komma så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen <math> \, 9 \, </math>. Då får vi <math> \, 39\,000 \, </math>. Den näst största siffran är <math> \, 8 \, </math>. Då blir det <math> \, 39\,800 \, </math>. Slutligen är bara <math> \, 6 \, </math> och <math> \, 0 \, </math> kvar, så att det blir <math> \, 39\,860 \, </math>.
+
Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till <math> \, 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, </math>. Mera utförligt:
  
 +
::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 \,= \,{\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, </math>
 +
</big></div> <!-- exempel2 -->
  
−
== Internetlänkar ==
 
−
http://www.nyteknik.se/popular_teknik/kaianders/article28993.ece
 
  
−
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
+
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Man säger att <math> \, {\color{Red} {312}} \, </math> är ett sätt <math>-</math> det decimala positionssystemets sätt <math>-</math> att representera dvs visa talets värde.  
  
−
http://www.df.lth.se/~mikaelb/aritm/aritm-sve.html
+
I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för <math> \, 100 \, </math> skrivit <math> \, 10^2 \, </math>, vilket betyder <math> \, 10 \cdot 10 \, </math>, istället för <math> \, 10 \, </math> skrivit <math> \, 10^1 \, </math> och istället för <math> \, 1 \, </math> skrivit <math> \, 10^0 \, </math>. Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) gånger <math> \, 10</math>-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen <math> \, 10 </math>. På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas <math>-</math> bara att basen <math> \, 10 \, </math> byts ut mot andra baser.
 +
 
 +
Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
 +
<big>
 +
Ange talet <math> \, 5\,689 \, </math> som en summa av termer med <math> \, 10</math>-potenser.
 +
 
 +
'''Lösning:'''
 +
 
 +
::<math>{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
 +
</big></div> <!-- exempel3 -->
 +
 
 +
 
 +
<big>Här en uppgift av en annan typ:</big>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
 +
<big>
 +
Siffrorna i talet <math> \, 96\,038 \, </math> ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt.
 +
 
 +
'''Lösning:'''
 +
 
 +
:De två siffrorna närmast <math> \, 4 \, </math> (första siffran i <math> \, 40\,000</math>) är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 6 \, </math>.
 +
 
 +
:Om vi börjar med siffran <math> \, 6 \, </math> skulle den ge värdet <math> \, 60\,000 \, </math> som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare <math> \, 40\,000 \, </math>. Därför bestämmer vi oss att stanna under <math> \, 40\,000 \, </math>, då blir den första siffran i det tal vi söker, <math> \, 3 \, </math>. Då får vi <math> \, 30\,000 \, </math>.
 +
 
 +
:För att komma så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen <math> \, 9 \, </math>. Då får vi <math> \, 39\,000 \, </math>. Den näst största siffran är <math> \, 8 \, </math>. Då blir det <math> \, 39\,800 \, </math>. Slutligen är bara <math> \, 6 \, </math> och <math> \, 0 \, </math> kvar, så att det blir <math> \, 39\,860 \, </math>.
 +
</big></div> <!-- exempel4 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Summa <math>-</math> Differens <math>-</math> Produkt <math>-</math> Kvot</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkne''operationer''. Deras ''resultat'' kallas för:
 +
</div> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><big><span style="color:#931136">Summa</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av addition:</b>
 +
 
 +
:<math> \;\; 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Differens</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av subtraktion:</b>
 +
 
 +
:<math> \;\; 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Produkt</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av multiplikation:</b>
 +
 
 +
:<math> \;\; 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;faktorer\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} </math>
 +
----
 +
<b><big><span style="color:#931136">Kvot</span></big> &nbsp; = &nbsp; resultat av division:</b>
 +
 
 +
:<math> \;\; 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} </math>
 +
</div> <!-- border-div2 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
https://www.youtube.com/watch?v=slqBCVthYKQ
 +
 
 +
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
  
 
http://www.1728.com/arith.htm
 
http://www.1728.com/arith.htm
  
−
http://edeye.com.au/learn/arithmetictraining.php
+
http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php
  
−
http://www.mult.se/mult.html
 
  
  
Rad 114: Rad 259:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 12 juli 2015 kl. 16.42

       Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt -->      


Lektion 1 Om tal

Talbegreppet

Aritmetik som är vårt första kapitel i denna kurs betyder läran om talen. Men vad är ett tal egentligen? Titta på bilderna nedan:

Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar?


Tre katter 80.jpg \(\qquad\) Lika med 65.gif \(\qquad\) Tre hundar 80.jpg \(\qquad\) Lika med 65.gif \(\qquad\) Tre 65.gif


Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet tre som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för talet 3.

Talet \( \, {\color{Red} n} \, \) kan alltså definieras som det enda gemensamma hos mängder som innehåller precis \( \, {\color{Red} n} \, \) element, dvs antalet saker och ting som finns i en mängd.

Men att definiera tal med antal är ju bara att byta ut ett okänt ord mot ett annat, vilket inte löser problemet att förstå talbegreppet. Det är i själva verket tankeprocessen bakom räknandet, som leder till talbegreppet. Att räkna antalet saker och ting i en mängd har vi lärt oss som barn. Men hur det gick till har vi antingen glömt eller aldrig brytt oss om.

Det är för att tankeprocessen bakom räknandet i regel pågår omedvetet: Vi bortser från skillnaderna mellan två mängder av objekt (katter och hundar). Kvar blir det gemensamma (talet tre) hos dem. Denna process kallas för:


Abstraktion

Klicka här för att läsa om abstraktion.
Abstraktion


Olika typer av tal

Vi brukar räkna antalet saker och ting i vår omgivning med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:

   Positiva tal 16.gif

dvs objekt antal i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Generellt är positiva tal alla tal större än \( \, 0 \, \). Till själva nollan kommer man genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. \( \, 4 - 4 = 0 \, \). De positiva heltalen bildar tillsammans med \( \, 0 \, \) de s.k. naturliga talen:

 Naturliga tal 16.gif

Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre, t.ex. \( \, 4 - 5 = -1 \, \) kommer man till negativa tal. De naturliga talen bildar tillsammans med de negativa talen de s.k. heltalen:

Heltal 16.gif

Delar man två heltal med varandra, t.ex. \( \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, \) kommer man till bråktal.

Heltalen bildar tillsammans med bråktalen de s.k. rationella talen:

Rationella tal 60.jpg

Alla rationella tal kan skrivas som bråk och därmed som decimaltal.

Dock finns decimaltal som inte kan skrivas som bråk. Exempel:

Drar man roten ur \( \, 2 \, \) kommer man till:

\[\sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \, \]
De olika taltyperna är delmängder av varandra:


Taltypera 3red.jpg

\( \sqrt{2} \, \) kan inte anges i bråkform \(-\) är inget rationellt tal \(-\) därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).

\( \sqrt{2} \, \) kallas för ett irrationellt tal. Ett annat exempel är talet \( \, \pi \). Det finns oändligt många irrationella tal.

De rationella talen bildar tillsammans med de irrationella de s.k. reella talen.

Men det finns ytterligare en talmängd som är mer omfattande än de reella talen. Löser man t.ex. ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) kommer man till:

\[ \, x = \sqrt{-1} \, \]

\( \sqrt{-1} \, \) är inget reellt utan ett s.k. imaginärt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger \( \, -1 \).

Alla rötter ur ett negativt tal är imaginära. De reella talen bildar tillsammans med de imaginära de s.k. komplexa talen.

Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som vi inledningsvis introducerade talbegreppet \(-\) fast på högre nivå.


Det decimala positionssystemet

Så kallas vårt talsystem, som vi dagligen använder. Att räkna med tal är en sak, att beteckna tal en helt annan. För att kunna kommunicera tal måste vi skriva upp dem, dvs ge talen, som ju är resultat av abstraktion, ändå en konkret form som att alla förstår.

Man pratar om representation av tal, dvs att visa eller framställa tal. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över \(-\) vårt talsystem \(-\) är det s.k. decimala positionssystemet. Det har visat sig att det är det enklaste sättet att representera tal.

Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen \( \, 10 \, \) (på latin: deci). Dvs man använder de första \( \, 10 \, \) siffrorna:

Siffrorna 0-9 16.gif

för att representera alla andra tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina \( \, 10 \, \) fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Alla tal större än \( \, 10 \, \) bildas med hjälp av dessa siffror \( \, 0\)-\(9 \, \).

Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer siffrornas värde.

De olika positioner som bestämmer siffrornas värde har följande beteckningar:

  • ental
  • tiotal
  • hundratal
  • tusental
  • tiotusental
  • hundratusental osv.

Exempel 1

Skriv talet \( \, 7\,142 \, \) som en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser".

Ange även talets entals-, tiotals-, hundratals- och tusentalssiffra. Förklara varför vårt talsystem är decimalt.

Lösning:

Fig112bk.jpg

Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med \( \, 10\)-potenser läs avsnittet om Potenser. Kom speciellt ihåg att \( \, 10^0 \, = \, 1 \, \) enligt potenslagarna.

Siffran \( \, 2 \, \) längst till höger är en entalssiffra eller kort ett ental och har det minsta värdet, nämligen \( \, 2 \cdot 1 = 2 \). Sedan följer de andra med stigande värden.

Nästa siffra \( \, 4 \, \) till vänster är en tiotalssiffra eller kort ett tiotal och har värdet \( \, 4 \cdot 10 = 40 \).

Nästa siffra \( \, 1 \, \) till vänster är en hundratalssiffra eller kort ett hundratal och har värdet \( \, 1 \cdot 100 = 100 \).

Siffran \( \, 7 \, \) längst till vänster är en tusentalssiffra eller kort ett tusental och har det högsta värdet, nämligen \( \, 7 \cdot 1\,000 = 7\,000 \).

Man inser regeln:

I det decimala positionssystemet har varje position ett \( \, 10 \, \) gånger större värde än positionen till höger.


Exempel 2

Ange siffrornas värde i talet \( \, 312 \). Beräkna talets värde utgående från siffrornas värden.

Skriv även talet som en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser".

Lösning:

Första siffran \( \, 3 \, \) är pga sin position ett hundratal och har därför värdet värdet \( \, 3 \cdot 100 \) dvs \( \, 300 \).

Siffran \( \, 1 \, \) är ett tiotal och har därför värdet \( \, 1 \cdot 10 \, \) dvs \( \, 10 \, \).

Siffran \( \, 2 \, \) är ett ental och har därför värdet \( \, 2 \cdot 1 \, \) dvs \( \, 2 \, \).

Siffran \( \, 2 \, \) är ett ental och har därför värdet \( \, 2 \cdot 1 \, \) dvs \( \, 2 \, \).

Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till \( \, 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, \). Mera utförligt:

\[ {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 \,= \,{\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2 \, = \,{\color{Red} {312}} \, \]


Man säger att \( \, {\color{Red} {312}} \, \) är ett sätt \(-\) det decimala positionssystemets sätt \(-\) att representera dvs visa talets värde.

I beräkningen av talets värde i Exempel 2 har vi istället för \( \, 100 \, \) skrivit \( \, 10^2 \, \), vilket betyder \( \, 10 \cdot 10 \, \), istället för \( \, 10 \, \) skrivit \( \, 10^1 \, \) och istället för \( \, 1 \, \) skrivit \( \, 10^0 \, \). Detta för att visa att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) gånger \( \, 10\)-potenser". Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet som har basen \( \, 10 \). På samma sätt kan i andra talsystem med andra baser talens värde beräknas \(-\) bara att basen \( \, 10 \, \) byts ut mot andra baser.

Uppgifter av typ Exempel 2 brukar formuleras kort så här:


Exempel 3

Ange talet \( \, 5\,689 \, \) som en summa av termer med \( \, 10\)-potenser.

Lösning:

\[{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0\]


Här en uppgift av en annan typ:


Exempel 4

Siffrorna i talet \( \, 96\,038 \, \) ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt.

Lösning:

De två siffrorna närmast \( \, 4 \, \) (första siffran i \( \, 40\,000\)) är \( \, 3 \, \) och \( \, 6 \, \).
Om vi börjar med siffran \( \, 6 \, \) skulle den ge värdet \( \, 60\,000 \, \) som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare \( \, 40\,000 \, \). Därför bestämmer vi oss att stanna under \( \, 40\,000 \, \), då blir den första siffran i det tal vi söker, \( \, 3 \, \). Då får vi \( \, 30\,000 \, \).
För att komma så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen \( \, 9 \, \). Då får vi \( \, 39\,000 \, \). Den näst största siffran är \( \, 8 \, \). Då blir det \( \, 39\,800 \, \). Slutligen är bara \( \, 6 \, \) och \( \, 0 \, \) kvar, så att det blir \( \, 39\,860 \, \).


Summa \(-\) Differens \(-\) Produkt \(-\) Kvot

De fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division har vi lärt oss i grundskolan. De är räkneoperationer. Deras resultat kallas för:


Summa   =   resultat av addition:

\[ \;\; 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} \]

Differens   =   resultat av subtraktion:

\[ \;\; 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} \]

Produkt   =   resultat av multiplikation:

\[ \;\; 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;faktorer\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} \]

Kvot   =   resultat av division:

\[ \;\; 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} \]


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=slqBCVthYKQ

http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm

http://www.1728.com/arith.htm

http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php





Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://mechanics.mattekollen.se/index.php?title=1.1_Om_tal&oldid=27153"