Skillnad mellan versioner av "1.2 Räkneordning"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Exempel 4)
m
 
(248 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.2 Räkneordning|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Om tal|<-- Förra avsnitt]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.2 Räkneordning|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Räkneordning|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Räkneordning|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Decimaltal|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 8: Rad 10:
  
  
−
== Hur räknar du? ==
+
[[Media: Lektion 2 Rakneordning Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 2 Räkneordning</span></strong>]]
−
:[[Image:Fig1_2_1.jpg]]
+
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
 +
== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
 +
<div class="exempel">
 +
[[Image: Hur raknar du 20a.jpg]]
 +
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 </math>
  
−
Adderar du först <math>6+3</math> och tar sedan resultatet 9 gånger 5 vilket skulle ge 45? Eller:
+
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>
  
−
Multiplicerar du först 3 gånger 5 som ger 15 och tar sedan 6 plus 15 vilket ger 21? Båda kan inte vara rätt.
+
</div>  <!-- exempel -->
  
−
Om du lärt dig räkneordning vet du att man alltid måste multiplicera först och addera sedan. Dvs 3 gånger 5 måste räknas först medan additionen <math>6+</math> måste vänta tills 3 gånger 5 är klart, fast <math>6+3</math> står först och gånger 5 sedan. Därför är 21 rätt och 45 är fel. Räkneordningen följer inte alltid skrivordningen, speciellt inte i det här fallet. Detta beror inte på någon självklar logik utan är resultat av följande överenskommelse bland matematiker världen över:
+
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 +
Men varför är <math> \, 21 \, </math> rätt och <math> \, 45 \, </math> fel?
  
−
== Multiplikation går före addition ==
+
Om du lärt dig räkneordning vet du att räkneordningen inte alltid följer skrivordningen utan snarare följande regel:
−
+
</div> <!-- tolv1 -->
−
Denna regel används när olika räkneoperationer är inblandade i ett [http://localhost/matte/index.php/2.2_Uttryck uttryck]. I uttrycket ovan är både addition och multiplikation inblandade. För varje räkneoperation vars symboler <math>+, -, \cdot\;</math> och <math>/\;</math> även kallas ''operatorer'' har man definierat en viss ''prioritet''. Man pratar om ''operatorprioritet'' - bara ett annat ord för räkneordning. Operatorn <math>\cdot\;</math> har högre prioritet än operatorn <math>+</math> dvs <math>\cdot\;</math> måste alltid räknas före <math>+</math> varför 3 gånger 5 måste räknas först och <math>6+15</math> sedan. För att visa hur man tänkt skriver man så här:
+
  
−
::::<math>6+3\cdot5=6+15=21</math>
 
  
−
Att additionen <math>6+</math> måste vänta innebär just att man efter det första likhetstecknet måste upprepa <math>6+</math> för att säkerställa likhetens logik, dvs för att garantera att det verkligen står samma värde till vänster som till höger av likhetstecknet (se Exempel 1).
+
<div class="border-divblue"><b>Multiplikation går före addition.</b></div>
  
−
Riktiga miniräknare följer prioritetsregeln ovan, men kanske inte räknaren i din mobiltelefon. Testa den räknare som du använder. Följer den regeln?  Om inte, är den värdelös. I så fall skaffa en räknare som gör det.
 
  
−
Självklart har man även kommit överens om de andra operatorernas prioritet:
+
<div class="tolv"> <!-- tolv1a -->
 +
Denna regel används när båda räkneoperationerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade. Man säger: Operationen <math> \, \cdot\;</math> har högre prioritet än operationen <math> \, + \, </math> dvs <math> \, \cdot\;</math> måste alltid räknas före <math> \, + \, </math> varför <math> \, 3 \, </math> gånger <math> \, 5 \, </math> måste räknas först och <math> \, 6 \, + \, 15 \, </math> sedan.
  
−
== De fyra räknesättens prioritetsregler ==
+
Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.
−
:[[Image:Fig1_2_2.jpg]]
+
</div> <!-- tolv1 -->
  
−
Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion. Om du undrar vilken prioritet som gäller internt i varje gruppering multiplikation/division resp. addition/subtraktion så är svaret: Samma. Addition har samma prioritet som subtraktion. I praktiken blir det ingen skillnad om du adderar först och subtraherar sedan eller om du gör tvärtom<span style="color:black">:</span> <math>12+4-2</math> ger 14 vare sig vi tar <math>12+4</math> först och gör <math>-2</math> sedan<span style="color:black">:</span> <math>12+4-2=16-2=14</math> eller om vi först räknar <math>4-2</math> och gör <math>12+2</math> sedan<span style="color:black">:</span> <math>12+4-2=12+2=14</math>. I båda fall får vi 14. Samma sak är det med multiplikation och division. Även de har sinsemellan samma prioritet. Det blir alltid samma resultat vare sig du multiplicerar först och dividerar sedan eller om du gör tvärtom: 6 gånger 4 först och delat med 2 sedan ger 12:
 
  
−
::::<math>6\cdot4/2=24/2=12</math>
+
== <b><span style="color:#931136">Varför går multiplikation före addition?</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
  
−
Men 4 delat med 2 först och gånger med 6 sedan ger också 12:
+
<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, </math> kan uppfattas som:
  
−
::::<math>6\cdot4/2=6\cdot2=12</math>
+
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>
  
−
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra den själv.
+
I själva verket är <math> \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; </math> en förkortning för <strong><span style="color:red">upprepad addition</span></strong> av <math> \, 5 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
  
−
== Parenteser ==
+
När vi sedan fortsätter genom att lägga till <math> \, 6 \, + \, </math> ser vi att <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> inte längre finns med i räkneprocessen, om vi skriver ut förkortningen <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>:
  
−
Om vi i det inledande exemplet sätter paranteser kan vi bryta prioritetsordningen och få 45:
+
:::<math> 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 </math>
  
−
::::<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math>
+
Här kan man inte längre räkna fel, för <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen utan endast en information om att <math> \, 5 \, </math> ska adderas <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv.
  
−
Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger 5 så att man får 45. Uttrycket till vänster är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste paranteserna sättas så här:
+
Därför det är fel att addera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> när man ska beräkna <math> \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, </math>.  
  
−
::::<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math>
+
Vi förstår prioritetsregeln <math> \; \cdot \; </math> går före <math> \; + \; </math> genom att se multiplikationen som vad den egentligen är, nämligen en upprepad addition i förkortad form.
  
−
Nu är uttrycket till vänster identiskt med det inledande exemplet. Man kan också säga att det fanns i det inledande exemplet "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.
+
På köpet får man insikten om att multiplikation inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition <math>-</math> en tanke som kan vidareföras:
  
−
== Osynliga multiplikationstecken ==
+
Samma sak är det nämligen med <strong><span style="color:red">division</span></strong>. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast <strong><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></strong>. När vi t.ex. räknar <math> 30 \, / \, 5 \, </math> görs i själva verket följande:
  
−
Det finns inte bara osynliga parenteser. Det är de som kan utelämnas utan problem. Det finns även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan som inledde "Parenteser" kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva:
+
:::::<math> 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
  
−
::::<math>(6+3)\,5</math>
+
Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå [[Teoretisk_förklaring|<strong><span style="color:blue">varför man inte får dividera med 0</span></strong>]].
 +
</div> <!-- tolv2 -->
  
−
som ger exakt samma värde 9 gånger 5 = 45 som ovan. Det gör man helt enkelt för att skriva lite mindre så att det blir enklare, av samma anledning förresten som för osynliga parenteser. Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecken, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket <math>(6+3)\,5</math> är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas. I sådana fall måste vi tänka oss först det osynliga multiplikationstecknet och räkna sedan. Se övning 5 i detta avsnitt.
 
  
−
== Division med bråkstreck ==
+
== <b><span style="color:#931136">De fyra räknesättens prioritetsregler</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
  
−
Det finns två symboler för division: Snedstrecket som t.ex. i <math> \displaystyle 6/3 </math> och bråkstrecket som i <math> \displaystyle 6\over 3</math> vars resultat är identiskt med förra formen. Men hur blir det när flera operatorer blir inblandade i bråkformen som t.ex. i
 
  
−
::::<math> 6+2 \over 3+1 </math>  
+
<div class="border-divblue">[[Image: De 4 raknesattens prioritetsregler 20.jpg]]</div>
  
−
Hur ska man här använda prioritetsregeln "Division går före addition"? Det går ju inte att dividera först och addera sedan. Vad ska i så fall divideras med vad? Självklart måste man här addera först <math> 6+2 </math>, sedan <math> 3+1 </math> och slutligen dividera deras resultat <math> 8/4 </math> för att få 2. Men har man då inte brutit mot regeln "Division går före addition"? Det har man faktiskt inte gjort. Och förklaringen till det är igen vissa "osynliga" parenteser. En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin [http://localhost/matte/index.php/1.5_Br%C3%A5k täljare] <math>6+2</math> och [http://localhost/matte/index.php/1.5_Br%C3%A5k nämnare] <math>3+1</math> i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. Sätter man in dessa i uttrycket ovan ser det ut så här:
 
  
−
::::<math> (6+2) \over (3+1) </math>
+
Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion.
  
−
Och då blir det plötsligt klart att det är parenteserna som enligt våra regler måste först lösas upp dvs beräknas och tas bort. Hela lösningen av den ursprungliga divisionen med bråkstreck ser alltså ut så här:
+
Addition har samma prioritet som subtraktion.  
  
−
::::<math> {6+2 \over 3+1} = {(6+2) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 </math>  
+
Multiplikation har samma prioritet som division.
 +
</div> <!-- tolv3 -->
  
−
Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstreck till divisionen med snedstreck kan man göra det. Båda former är identiska:
 
  
−
::::<math> {6+2 \over 3+1} = (6+2) / (3+1) </math>  
+
<div class="exempel">
−
 
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
−
Men då är man tvungen att sätta parenteser i snedstreckformen som till skillnad från bråkformen inte får utelämnas. Det är inte fel att i bråkformen skriva de osynliga parenteserna kring täljaren <math> 6+2 </math> och nämnaren <math>3+1</math>, men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är ''hela'' <math> 6+2 </math> som ska delas med ''hela'' <math>3+1</math>. Däremot blir det ett helt annat uttryck om man utelämnar parenteserna i snedstreckformen, nämligen <math>6+2/3+1</math> som i själva verket är identiskt med <math>6+(2/3)+1</math> och ger ett helt annat värde (<math>7,666...</math>). Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".
+
−
 
+
−
== Sammanfattning ==
+
−
 
+
−
När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:
+
−
 
+
−
1. Lös upp eventuella parenteser först, dvs räkna deras innehåll.
+
−
 
+
−
2. Sedan tar du multiplikationer och divisioner.
+
−
 
+
−
3. Sist additioner och subtraktioner.
+
−
 
+
−
== Exempel 1 ==
+
  
 
Vad ger följande uttryck?
 
Vad ger följande uttryck?
  
−
:::<math>12-2\cdot3+6</math>
+
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 </math>
 +
 
 +
Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna <math> \, 12 \, - \, 2 \, </math>. Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna <math> \, + \, </math> och <math> \, \cdot\;</math> är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:
  
−
Det vanligaste felet man gör är att börja räkna <math>12-2</math>. Istället för att börja räkna måste man titta på hela uttrycket. Då konstaterar man att det finns operatorer med olika prioriteter nämligen <math>+</math> och <math>\cdot\;</math> vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:
+
:::<math> 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12</math>
  
−
:::<math>12-2\cdot3+6=12-(2\cdot3)+6=12-6+6=12-0=12</math>
+
Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Beakta uppgiftens redovisning som en <strong><span style="color:red">kedja av likheter</span></strong> för att visa alla mellansteg. Likhetstecknets korrekta användning innebär att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet <math> \, 12 \, </math> upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med <math> \, 12 \, </math> förrän i det allra sista steget.
 +
<!-- Genom skicklig användning av räkneordning kan man minimera räknearbetet. -->
 +
</div>
  
−
Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Observera också likhetstecknets korrekta användning. Skriver man en kedja av likheter för att visa alla mellansteg måste man beakta att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet 12 upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med 12 förrän i det allra sista steget. Genom skicklig användning av räkneordning kan man minimera räknearbetet.
 
  
−
== Exempel 2 ==
+
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
  
 
Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:
 
Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:
Rad 118: Rad 113:
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
 
:::<math>(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44</math>
  
−
Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än <math>+</math> så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas 8 gånger 3 först och dras av sedan från 64. Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna <math>64-8</math> utan tar först 8 gånger 3.
+
Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än <math> \, + \, </math> så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas <math> \, 8 \, </math> gånger <math> \, 3 \, </math> först och dras av sedan från <math> \, 64 \, </math>. Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna <math>64-8</math> utan tar först <math> \, 8 \, </math> gånger <math> \, 3 \, </math>.
  
−
Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp paranteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.
+
Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp parenteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.
 +
</div>
  
−
== Exempel 3 ==
+
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
  
 
'''Problem:''' Beräkna utan miniräknare:  
 
'''Problem:''' Beräkna utan miniräknare:  
  
 
:::<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math>
 
:::<math>24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4</math>
−
 
−
'''Svar:''' <math> 34 </math>
 
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
Rad 135: Rad 131:
  
 
Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.
 
Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.
 +
</div>
  
−
== Exempel 4 ==
+
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
  
 
'''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:  
 
'''Problem:''' Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:  
  
 
:::<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math>
 
:::<math>\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 </math>
−
 
−
'''Svar:''' <math> 20 </math>
 
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
Rad 148: Rad 145:
 
:::<math> \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 =  </math>
 
:::<math> \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 =  </math>
  
−
:::<math> 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 </math>
+
:::<math> = 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 </math>
  
−
Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med 2 genomförd.
+
Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen <math>9/3</math> för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med <math> \, 2 \, </math> genomförd.
 +
</div>
  
−
== Internetlänkar ==
+
 
−
http://www.youtube.com/watch?v=doxCjrqxoRM
+
== <b><span style="color:#931136">Parenteser och osynliga multiplikationstecken</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången.
 +
 
 +
Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få <math> \, 45 \, </math>:
 +
 
 +
::::<math>(6+3)\cdot5=9\cdot5=45</math>
 +
 
 +
Parentesen tvingar oss här att först räkna <math>6+3</math> och sedan fortsätta med gånger <math> \, 5 \, </math> så att man får <math> \, 45 \, </math>. Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här:
 +
 
 +
::::<math>6+(3\cdot5)=6+15=21</math>
 +
 
 +
Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som ''kan'' utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.
 +
 
 +
Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här:
 +
 
 +
::::<math>(6+3)\;5</math>
 +
 
 +
Detta ger samma värde <math> \, 9 \, </math> gånger <math> \, 5 \, = \, 45 \, </math> som ovan.
 +
 
 +
Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecknet, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket <math> \, (6+3)\;5 \, </math> är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas.
 +
</div> <!-- tolv4 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Bråkstreck inkluderar parentes</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 +
Det finns två symboler för division: Själva divisionstecknet som t.ex. i <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> och bråkstrecket som i <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> vars resultat är det samma, nämligen <math> \, 2 \, </math>. Skillnaden är att <math> \, \displaystyle {6/3} \, </math> är en operation, nämligen att dividera <math> \, 6 \, </math> med <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, \displaystyle {6\over 3} \, </math> är ett tal, närmare bestämt ett tal i bråkform. Detta var ett enkelt exempel. Men hur blir det när flera operationer blir inblandade i ett uttryck som involverar bråkstrecket?
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
===== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> =====
 +
 
 +
::::<math> 2+6 \over 3+1 </math>
 +
 
 +
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \,  5 </math>
 +
 
 +
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! (2 + 6) / (3 + 1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>
 +
 
 +
Speciellt vanligt är detta fel när man direkt matar in <math> \, 2 + 6 / 3 + 1 \, </math> i kalkylatorn och får det felaktiga resultatet <math> \,  5 \, </math> i displayen.
 +
</div> <!-- exempel -->
 +
 
 +
Förklaringen är igen vissa "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare <math> \, 6+2 \, </math> och nämnare <math> \, 3+1 \, </math> i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. Synliggör man dessa "osynliga" parenteser i uttrycket ovan ser det ut så här:
 +
 
 +
::::<math> {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 </math>
 +
 
 +
Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> och nämnaren <math>3+1</math>, men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är ''hela'' <math> \, 2 \, + \, 6 \, </math> som ska delas med ''hela'' <math>3+1</math>.
 +
 
 +
Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska:
 +
 
 +
::::<math> {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 </math>
 +
 
 +
I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Det blir nämligen ett helt annat uttryck och därmed ett helt annat resultat om man gör det:
 +
 
 +
::::<math>2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1  \, = \, 5 </math>
 +
 
 +
Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".
 +
</div> <!-- tolv5 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Sammanfattning</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 +
När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:
 +
 
 +
1. Lös upp eventuella parenteser först, dvs räkna deras innehåll.
 +
 
 +
2. Sedan tar du multiplikationer och divisioner.
 +
 
 +
3. Sist additioner och subtraktioner.
 +
</div> <!-- tolv6 -->
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
https://www.youtube.com/watch?v=lFxztfJ2bq4
 +
 
 +
http://matematikvideo.se/lektioner/prioriteringsreglerna/
 +
 
 +
http://www.matteguiden.se/rakneregler/
  
 
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html
 
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html
  
−
http://math.about.com/gi/dynamic/offsite.htm?site=http://www.funbrain.com/algebra/
+
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 13 juli 2015 kl. 11.16

       <-- Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt -->      


Lektion 2 Räkneordning

Hur räknar du?

Hur raknar du 20a.jpg \[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 9 \cdot 5 \, = \, 45 \]

\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 6 \, + \, 3 \cdot 5 \, = \, 6 \, + \, (3 \cdot 5) \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \]

Men varför är \( \, 21 \, \) rätt och \( \, 45 \, \) fel?

Om du lärt dig räkneordning vet du att räkneordningen inte alltid följer skrivordningen utan snarare följande regel:


Multiplikation går före addition.


Denna regel används när båda räkneoperationerna \( \, + \, \) och \( \, \cdot\;\) är inblandade. Man säger: Operationen \( \, \cdot\;\) har högre prioritet än operationen \( \, + \, \) dvs \( \, \cdot\;\) måste alltid räknas före \( \, + \, \) varför \( \, 3 \, \) gånger \( \, 5 \, \) måste räknas först och \( \, 6 \, + \, 15 \, \) sedan.

Är denna regel något vi bara måste acceptera eller finns det någon logisk förklaring för den? För att besvara frågan måste vi fundera på vad vi egentligen gör när vi multiplicerar.


Varför går multiplikation före addition?

\( {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \, \) kan uppfattas som:

\[ {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \]

I själva verket är \( \; {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; \) en förkortning för upprepad addition av \( \, 5 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

När vi sedan fortsätter genom att lägga till \( \, 6 \, + \, \) ser vi att \( \, {\color{Red} 3} \, \) inte längre finns med i räkneprocessen, om vi skriver ut förkortningen \( \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, \):

\[ 6 \, + \quad {\color{Red} 3} \, \cdot \, 5 \; = \; 6 \, + \quad \underbrace{5 \, + \, 5 \, + \, 5}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, = \, 6 \, +\, 15 \, = \, 21 \]

Här kan man inte längre räkna fel, för \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen utan endast en information om att \( \, 5 \, \) ska adderas \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv.

Därför det är fel att addera \( \, 6 \, \) med \( \, {\color{Red} 3} \, \) när man ska beräkna \( \; 6 \, + \, {\color{Red} 3} \cdot 5 \, \).

Vi förstår prioritetsregeln \( \; \cdot \; \) går före \( \; + \; \) genom att se multiplikationen som vad den egentligen är, nämligen en upprepad addition i förkortad form.

På köpet får man insikten om att multiplikation inte är en ny, genuin räkneoperation utan bygger på addition \(-\) en tanke som kan vidareföras:

Samma sak är det nämligen med division. Inte heller division är en ny, genuin räkneoperation utan är endast upprepad subtraktion. När vi t.ex. räknar \( 30 \, / \, 5 \, \) görs i själva verket följande:

\[ 30 \; \underbrace{- \, 5 \, - \, 5 \, - \, 5 \, - 5 \, - 5 \, - \,5}_{{\color{Red} 6}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 30 \, / \, 5 \; = \; {\color{Red} 6}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]

Denna tolkning av division kommer även att hjälpa oss att förstå varför man inte får dividera med 0.


De fyra räknesättens prioritetsregler


De 4 raknesattens prioritetsregler 20.jpg


Både multiplikation och division har alltså högre prioritet än addition och subtraktion.

Addition har samma prioritet som subtraktion.

Multiplikation har samma prioritet som division.


Exempel 1

Vad ger följande uttryck?

\[ 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \]

Som det sades inledningsvis är det vanligaste felet att börja räkna \( \, 12 \, - \, 2 \, \). Istället för att börja räkna är det bättre att först titta på hela uttrycket. Då ser man att operatorerna \( \, + \, \) och \( \, \cdot\;\) är inblandade vilket innebär att prioritetsreglerna måste användas:

\[ 12 \, - \, 2 \cdot 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, (2 \cdot 3) \, + \, 6 \, = \, 12 \, - \, 6 \, + \, 6 \, = \, 12\]

Parentesen är här endast till för att förtydliga hur man tänkt och räknat. Beakta uppgiftens redovisning som en kedja av likheter för att visa alla mellansteg. Likhetstecknets korrekta användning innebär att det verkligen står exakt samma sak på båda sidor av likhetstecknen. Därför måste t.ex. talet \( \, 12 \, \) upprepas i alla mellansteg ända till slutet för att upprätthålla likheterna, även om man inte räknar med \( \, 12 \, \) förrän i det allra sista steget.


Exempel 2

Här har vi ett lite större uttryck med parenteser:

\[(50+14)-8\cdot3+4\]

Om vi endast tillämpar det vi lärt oss i det här avsnittet dvs räknar först multiplikationen blir lösningen följande:

\[(50+14)-8\cdot3+4 = (50+14)-24+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]

Men även följande lösning är helt korrekt:

\[(50+14)-8\cdot3+4 = 64-8\cdot3+4 = 64-24+4 = 40+4 = 44\]

Här har man löst upp parentesen först vilket inte alls står i motsägelse till prioritetsreglerna. Inom parentesen finns ju ingen annan operator än \( \, + \, \) så att det inte uppstår något problem vad gäller operatorprioritet. I nästa steg räknas \( \, 8 \, \) gånger \( \, 3 \, \) först och dras av sedan från \( \, 64 \, \). Viktigt är att man efter första likhetstecknet inte begår felet att räkna \(64-8\) utan tar först \( \, 8 \, \) gånger \( \, 3 \, \).

Frågan som uppstår nu är: Vilken av de två lösningarna ovan är bättre? Just i det här exemplet spelar det ingen roll. Men generellt kommer vi att se att det i större sammanhang är bättre att lösa upp parenteser först, dvs att räkna deras innehåll så att man kan ta bort dem. Sedan kan man följa operatorernas prioritetsregler.


Exempel 3

Problem: Beräkna utan miniräknare:

\[24 - (8-4) - 36/6 + 5\cdot4\]

Lösning:

\[24\,-\,(8-4)\,-\,36/6\,+\,5\,\cdot\,4\;=\;24\,-\,4\,-\,6\,+\,20\;=\;20\,-\,6\,+\,20\;=\;14\,+\,20\;=\;34\]

Här har vi förkortat lösningen genom att sammanfatta beräkningen av parentesen, divisionen och multiplikationen i det första mellansteget.


Exempel 4

Problem: Beräkna utan räknare och kontrollera resultatet med räknaren:

\[\left({16-4 \over 3} + 7\right) \cdot 2 - 9/3 + 1 \]

Lösning:

\[ \displaystyle \left({16-4 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,9/3\,+\,1 = \left({12 \over 3} + 7\right)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = (4+7)\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = \]
\[ = 11\,\cdot\,2\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 22\,-\,3\,+\,1 = 19\,+\,1 = 20 \]

Här har vi i det första mellansteget börjat att beräkna parentesen och samtidigt utfört divisionen \(9/3\) för att skriva lite mindre. Upplösningen av parentesen fortsätter i det andra mellansteget medan divisionen är avslutad och resultatet tas med i de följande mellanstegen tills parentesen är upplöst och multiplikationen med \( \, 2 \, \) genomförd.


Parenteser och osynliga multiplikationstecken

Vad händer när parenteser är inblandade? Med parenteser kan man bryta prioritetsordningen och styra själv räknegången.

Om vi i det inledande exemplet sätter parenteser kan vi bryta prioritetsordningen och få \( \, 45 \, \):

\[(6+3)\cdot5=9\cdot5=45\]

Parentesen tvingar oss här att först räkna \(6+3\) och sedan fortsätta med gånger \( \, 5 \, \) så att man får \( \, 45 \, \). Uttrycket ovan är ett annat uttryck än det inledande exemplet. För att få det inledande exemplet måste parenteserna sättas så här:

\[6+(3\cdot5)=6+15=21\]

Man kan också säga att det i det inledande exemplet fanns "osynliga" parenteser. Det är sådana som kan utelämnas utan att någon ändring sker. Nu har vi gjort dem synliga. De gör exakt samma sak som prioritetsregeln "multiplikation går före addition". Därför utelämnar man dem vanligtvis och låter prioritetsregeln göra jobbet. Men det är inte heller fel att skriva parenteserna för tydlighetens skull.

Det finns inte bara osynliga parenteser utan även osynliga multiplikationstecken. De kan också utelämnas utan att någon ändring av uttryckets värde förekommer. I exemplet ovan kan man faktiskt utelämna multiplikationstecknet och skriva så här:

\[(6+3)\;5\]

Detta ger samma värde \( \, 9 \, \) gånger \( \, 5 \, = \, 45 \, \) som ovan.

Självklart kan man inte alltid utelämna multiplikationstecknet, t.ex. inte mellan två rena siffror eller tal som ska multipliceras. Läsligheten får ju inte lida. I uttrycket \( \, (6+3)\;5 \, \) är det parentesen som gör att multiplikationstecknet kan utelämnas.


Bråkstreck inkluderar parentes

Det finns två symboler för division: Själva divisionstecknet som t.ex. i \( \, \displaystyle {6/3} \, \) och bråkstrecket som i \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \) vars resultat är det samma, nämligen \( \, 2 \, \). Skillnaden är att \( \, \displaystyle {6/3} \, \) är en operation, nämligen att dividera \( \, 6 \, \) med \( \, 3 \, \), medan \( \, \displaystyle {6\over 3} \, \) är ett tal, närmare bestämt ett tal i bråkform. Detta var ett enkelt exempel. Men hur blir det när flera operationer blir inblandade i ett uttryck som involverar bråkstrecket?

Exempel
\[ 2+6 \over 3+1 \]

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 \]

\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! (2 + 6) / (3 + 1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 \]

Speciellt vanligt är detta fel när man direkt matar in \( \, 2 + 6 / 3 + 1 \, \) i kalkylatorn och får det felaktiga resultatet \( \, 5 \, \) i displayen.

Förklaringen är igen vissa "osynliga" parenteser: En av de dolda egenskaperna hos bråkstrecket är nämligen att det grupperar sin täljare \( \, 6+2 \, \) och nämnare \( \, 3+1 \, \) i osynliga parenteser, dvs i sådana som kan utelämnas. Synliggör man dessa "osynliga" parenteser i uttrycket ovan ser det ut så här:

\[ {2+6 \over 3+1} = {(2+6) \over (3+1)} = {8 \over 4} = 2 \]

Och då ser man att det är parenteserna som måste beräknas först. Det är inte fel att i bråkformen även skriva de osynliga parenteserna kring täljaren \( \, 2 \, + \, 6 \, \) och nämnaren \(3+1\), men de är onödiga. Man brukar utelämna dem därför att bråkstrecket själv gör det redan tydligt att det är hela \( \, 2 \, + \, 6 \, \) som ska delas med hela \(3+1\).

Vill man därmot skriva om divisionen med bråkstrecket till divisionen med divisionstecknet kan man göra det. Båda former är identiska:

\[ {2+6 \over 3+1} = (2+6) / (3+1) \, = \, 8 \, / 4 \, = \, 2 \]

I divisionsformen får man till skillnad från bråkformen inte utelämna parenteserna. Det blir nämligen ett helt annat uttryck och därmed ett helt annat resultat om man gör det:

\[2 \, + \, 6 \, / \, 3 \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, (6 \, / \, 3) \, + \, 1 \, = \, 2 \, + \, 2 \, + \, 1 \, = \, 5 \]

Detta pga prioritetsregeln "Division går före addition".


Sammanfattning

När både parenteser och operatorer är inblandade i ett räkneuttryck använd följande turordningsregler:

1. Lös upp eventuella parenteser först, dvs räkna deras innehåll.

2. Sedan tar du multiplikationer och divisioner.

3. Sist additioner och subtraktioner.


Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=lFxztfJ2bq4

http://matematikvideo.se/lektioner/prioriteringsreglerna/

http://www.matteguiden.se/rakneregler/

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html





Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://mechanics.mattekollen.se/index.php?title=1.2_Räkneordning&oldid=27176"